Criterio de Routh-Hurwitz

Dado , donde es la ecuación característica de algún sistema.

I. Método de Routh

Para que todos los polos estén en el semiplano izquierdo es necesario que

A. Las

B. Todos los determinantes, , deben ser positivos. Donde se definen de las matrices formadas del siguiente arreglo:

Note que es cero, por tener una fila de cero, y por lo tanto el arreglo acaba con .

Ejemplo 1: Dada la ecuación característica , determinar si el sistema es estable o no.

Solución:

Primero observamos que los coeficientes de la ecuación característica son todos positivos. Luego, construimos la matriz para determinar los determinantes.

De aquí caculamos los determinantes:

Esto nos dice que el sistema es inestable.

(No es necesario calcularlo, por la fila de ceros al final de la matriz.)

I. Método de Routh-Hurwitz

Si las se cumple, entonces el número de polos en el semiplano derecho es igual al número de cambios en signo de los coeficientes de la primera columna del siguiente arreglo:

donde

,, y así sucesivamente.

Teorema de división en una fila:

Los coeficientes de cualquier fila se pueden multiplicar o dividir por un número positivo sin alterar los cambios en signo de la primera columna.

Ejemplo 2: Determinar cuantas raíces tiene el siguiente polinomio en el semiplano derecho:

.

Solución:

Construyendo la siguiente tabla de Routh-Hurwitz podemos ver que hay dos cambios de signo. Por lo tanto, el polinomio tiene dos raíces en el semiplano derecho.

Casos especiales:

I. Existe un cero en la primera columna de la tabla de Routh-Hurwitz y un valor diferente de cero en la misma fila. Esto implica que va haber una división por cero, lo cual está indefinido.

A. Formas de resolver el problema.

Multiplica el polinomio por (s + 1) y utiliza el método de Routh-Hurwitz sobre el polinomio resultante. Note que los cambios en signo no se afectan.

Sustituir s por 1/x y resolver Routh-Hurwtiz para el nuevo polinomio en x. Esto equivale a invertir los coeficientes de ; es decir .

Reemplazar el cero de la primera columna por un número. Es infinitesimalmente positivo, y por lo tanto diferente de cero. Al menos los cambios en signo se preservan.

II. Resulta una fila de ceros en la tabla de Routh-Hurwitz.

A. Implicaciones

Existe una ecuación auxiliar, , que sale de los coeficientes de la fila anterior.

Las raíces de son también raíces de , y éstas ocurren en pares de singularidad simétrica con el origen.

Ejemplo 3: Hallar las raices del siguiente polinomio usando Routh-Hurwitz:

Solución:

Construyendo la siguiente tabla de Routh-Hurwitz podemos ver que existe una fila de ceros.

De la fila anterior podemos sacar la siguiente ecuación auxiliar:

De A(s) tenemos que dos raices son

Ahora dividiendo el polinomio original por A(s) obtenemos la siguiente ecuación:

Utilizando la fórmula cuadrática hallamos las dos raices restantes:

Trabajando para mejorarlo!