SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

USANDO MATRICES Y SU TI-89

Hecho por: Elvin M. concepción

Una matriz es una tabla rectangular de números o elementos de un anillo (véase Álgebra). Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.

Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes:

En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera. Para delimitar la matriz, en vez de corchetes, se pueden utilizar también dos rectas paralelas a cada lado. Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha. Utilizando esta notación, el elemento de la segunda fila y tercera columna de M₁ es -1. Una fila o columna genérica se denomina línea.

El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en este orden, así M₁, M₂, M₃ y M₄ son de tamaño 3 × 3 (3 por 3), 3 × 3, 3 × 2 y 2 × 3 respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m × n se representan normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice, i, indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues, el elemento a₂₃ está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general

se puede representar de forma abreviada como A = (a_ij), en donde los posibles valores de los índices i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2, ..., n se han de dar explícitamente si no se sobrentienden. Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas (o columnas) es el orden de la matriz. Dos matrices A = (a_ij) y B = (b_ij), son iguales si y sólo si son de igual tamaño y si para todo i y j, a_ij = b_ij. Si A = (a_ij) es una matriz cuadrada, los elementos a₁₁, a₂₂, a₃₃, ... forman la diagonal principal de la matriz. La matriz traspuesta A^T de una matriz A es otra matriz en la cual la fila i es la columna i de A, y la columna j es la fila j de A. Por ejemplo, tomando la matriz M₃ anterior,

es la matriz traspuesta de M₃.

La adición y la multiplicación de matrices están definidas de manera que ciertos conjuntos de matrices forman sistemas algebraicos. Consideremos los elementos de las matrices números reales cualesquiera, aunque se podrían tomar elementos de cualquier otro cuerpo o anillo. La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0; la matriz identidad I_m de orden m, es una matriz cuadrada de orden m en la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. El orden de la matriz identidad se puede omitir si se sobrentiende con el resto de la expresión, con lo que I_m se escribe simplemente I.

La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. Si A = (a_ij) y B = (b_ij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se define como la matriz (c_ij), en la que c_ij = a_ij + b_ij, es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes. Así, para las matrices mencionadas anteriormente

El conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño tiene las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa de la adición. Además hay una matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O + A = A y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.

El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor izquierdo, A es igual al número de filas del factor derecho, B; si A = (a_ij) es de tamaño m × n y B = (b_jk) es de tamaño n × p, el producto AB = C = (c_ik) es de tamaño m × p, y c_ik está dado por

es decir, el elemento de la fila i y la columna k del producto es la suma de los productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor derecho.

ÁLGEBRA LINEAL

El concepto geométrico de vector como segmento rectilíneo de longitud, dirección y sentido dados, puede generalizarse como se muestra a continuación. Un n-vector (vector n-dimensional, vector de orden n o vector de longitud n) es un conjunto ordenado de n elementos de un cuerpo. Al igual que en la teoría de matrices, los elementos de un vector pueden ser números reales. Un n-vector v se representa como

v = (x₁, x₂, ..., x_n)

Las líneas de una matriz son vectores: las horizontales son vectores fila y las verticales vectores columna. Las x se denominan componentes del vector.

La suma de vectores (de igual longitud) y la multiplicación por un escalar se definen de igual manera que para las matrices, y cumplen las mismas propiedades. Si

w = (y₁, y₂, ..., y_n)

y k es un escalar (número real), entonces

v + w = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n)

kv = (kx₁, kx₂, ..., kx_n)

Si k₁, k₂, ..., k_m son escalares, y v₁, v₂, ..., v_m son n-vectores, el n-vector

v = k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_mv_m

se denomina combinación lineal de los vectores v₁, v₂, ..., v_m. Los m n-vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal igual al n-vector cero, 0 = (0,0, ..., 0), es aquélla en que k₁ = k₂ = ... = k_m = 0. Si existe otra combinación lineal que cumple esto, los vectores son linealmente dependientes. Por ejemplo, si v₁ = (0, 1, 2, 3), v₂ = (1, 2, 3, 4), v₃ = (2, 2, 4, 4) y v₄ = (3, 4, 7, 8), entonces v₁, v₂ y v₃ son linealmente independientes, pues k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃ = 0 si y sólo si k₁ = k₂ = k₃ = 0; v₂, v₃ y v₄ son linealmente dependientes pues v₂ + v₃ - v₄ = 0. Si A es una matriz de rango r, entonces al menos un conjunto de r vectores fila o columna es un conjunto linealmente independiente, y todo conjunto con más de r vectores fila o columna es un conjunto linealmente dependiente.

Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de vectores (véase Teoría de conjuntos) que cumple las siguientes propiedades: (1) si ve V y w e V, entonces (v + w) e V, y (2) si v e V y k es un escalar cualquiera, entonces kv e V. Si S = {v_i} es un conjunto de vectores, todos ellos de la misma longitud, todas las combinaciones lineales de los vectores v forman un espacio vectorial V. Se dice que este espacio vectorial es generado por los v. Si el conjunto B = {w₁} genera el mismo espacio vectorial V, y está formado por vectores linealmente independientes, se dice que B es una base de V. Si una base de V contiene m vectores, entonces toda base de V contiene exactamente m vectores, y se dice que V es un espacio vectorial de dimensión m. Los espacios euclídeos de dos y tres dimensiones se pueden representar por parejas y tríos ordenados de números reales. Las matrices se pueden utilizar para describir transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro.

Para entrar una matriz a tu TI-89

Para crear una matriz cualquiera llamada A o el nombre que usted desee:

Double Bracket: 1 -2 1 0
0 2 -8 8

-4 5 9 9

Presione la tecla:

Escoja:

Luego Escoja:

Para colocar texto:

Para un folder, escoja:

A menos que haya creado otro folder en donde guardar la matriz

Cuando este llenando los encasillados en blanco, use los cursores de dirección para moverse sobre los mismos. No presione

a menos que este seguro que toda la información es correcta.

En variables escriba el nombre de su matriz utilizando:

Escriba el # de filas (3), en este caso, y el # de columnas (4), en este caso. Luego presione:

Para colocar las entradas de la matriz en la calculadora, presione :

Luego de cada entrada. Use los cursores de flechas para moverse entre las filas y las columnas y editar las entradas.

Presione

cuando haya terminado de entrar su matriz.

Presione

y el nombre que le dió a su matriz, presione

para que su matriz aparezca en la pantalla.

Resolviendo un sistema de ecuaciones

Para resolver un sistema de ecuaciones, entramos el sistema como si fuera una matriz en nuestra calculadora y luego colocamos la matriz en "reduced row echelon form (rref)", por sus siglas en inglés. Cuando se utiliza la opción rref la calculadora utiliza una versión del método de eliminación para resolver el sistema dado.